Question

【題目】已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．
（Ⅰ）證明：PF⊥FD；
（Ⅱ）判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD；
（Ⅲ）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】解：解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz， 則A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0）．
不妨令P（0，0，t）∵ ，
∴ ，
即PF⊥FD．
（Ⅱ）設平面PFD的法向量為 ，
由 ，得 ，令z=1，解得： ．
∴ ．
設G點坐標為（0，0，m）， ，則 ，
要使EG∥平面PFD，只需 ，即 ，
得 ，從而滿足 的點G即為所求．
（Ⅲ）∵AB⊥平面PAD，
∴ 是平面PAD的法向量，易得 ，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，
得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量為
∴ ，
故所求二面角A﹣PD﹣F的余弦值為 ．
解法二：（Ⅰ）證明：連接AF，則 ， ，

又AD=2，∴DF2+AF2=AD2 ，
∴DF⊥AF（2分）
又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴
（Ⅱ）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD，且有
再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且 ，
∴平面GEH∥平面PFD
∴EG∥平面PFD．
從而滿足 的點G即為所求
（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=1
取AD的中點M，則FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A﹣PD﹣F的平面角
∵Rt△MND∽Rt△PAD，
∴ ，
∵ ，且∠FMN=90°
∴ ， ，
∴


【解析】解法一（向量法）（I）建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz，分別求出直線PF與FD的平行向量，然后根據兩個向量的數量積為0，得到PF⊥FD；（Ⅱ）求出平面PFD的法向量（含參數t），及EG的方向向量，進而根據線面平行，則兩個垂直數量積為0，構造方程求出t值，得到G點位置；（Ⅲ）由 是平面PAD的法向量，根據PB與平面ABCD所成的角為45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夾角公式，可得答案． 解法二（幾何法）（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質定理得到PF⊥FD；（Ⅱ）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD，且有 ，再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且 ，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，進而由面面平行的性質得到EG∥平面PFD．從而確定G點位置；（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點M，則FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A﹣PD﹣F的平面角，解三角形MNF可得答案．
【考點精析】通過靈活運用空間中直線與直線之間的位置關系和直線與平面平行的判定，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．