Question

已知三角函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）+b（A＞ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x-

π

6

）+4cosx，試求函數(shù)g（x）在x∈[0，π]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的最值

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題知A+b=3，-A+b=-1，

T

2

=

π

3

-(-

π

6

)=

π

2

，即可求得A，b，ω，φ的值，從而可求函數(shù)的解析式；
（2）由已知化簡(jiǎn)得g（x）=4(cosx+

1

2

)2-2可求當(dāng)cosx=1時(shí)，有g(shù)（x）_max=7；當(dāng)cosx=-

1

2

時(shí)，有g(shù)（x）_min=-2，于是可求函數(shù)g（x）在x∈[0，π]上的值域．

解答：
（1）由題知A+b=3，-A+b=-1，

T

2

=

π

3

-(-

π

6

)=

π

2

，
所以A=2，b=1，ω=

2π

T

=2，又f（

π

3

）=-1得φ=

π

3

所以函數(shù)的解析式：f（x）=2cos（2x+

π

3

）+1…（6分）
（2）g（x）=f（x-

π

6

）+4cosx=2cos2x+1+4cosx
=4cos²x+4cosx-1
=4(cosx+

1

2

)2-2  …（9分）
因x∈[0，π]時(shí)，cosx∈[-1，1]，從而當(dāng)cosx=1時(shí)，有g(shù)（x）_max=4(1+

1

2

)2-2=7；當(dāng)cosx=-

1

2

時(shí)，
有g(shù)（x）_min=-2，于是函數(shù)g（x）在x∈[0，π]上的值域?yàn)閇-2，7]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．