Question

如圖，四棱柱中A₁B₁C₁D₁-ABCD，底面ABCD為邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，且∠B₁BA=∠B₁BC=∠ABC=60°．
（1）求證：AC⊥平面B₁BDD₁
（2）求BC₁與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：法一：
（Ⅰ）由菱形性質(zhì)得AC⊥BD，由向量性質(zhì)得AC⊥B₁B，由此能證明AC⊥平面B₁BDD₁．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，以DB為x軸、AC為y軸、OB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BC₁與平面ABCD所成角的正弦值．
法二：
（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為菱形，∴AC⊥BD．
又∵AB=BC，∠B₁BA=∠B₁BC，B₁B=B₁B，
∴△ABB₁≌△CBB₁，B₁A=B₁C．
而菱形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴B₁O⊥AC
∴AC⊥平面B₁BDD₁（4分）
（Ⅱ）設(shè)菱形A₁B₁C₁D₁對(duì)角線的交點(diǎn)為O₁，連接O₁O，則∠O₁OD為平面A₁ACC₁與平面ABCD所成二面角的平面角，由此能求出BC₁與平面ABCD所成角的正弦值．

解答： 解法一：
（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為菱形，∴AC⊥BD
又∵

AC

•

B1B

=（

AB

+

AD

）•

B1B

=

AB

•

B1B

+

AD

•

B1B

，
而

AB

•

B1B

=-

BA

•

B1B

=-|

BA

|•|

B1B

|cos60°=-3，

AD

•

B1B

=

BC

•

B1B

=|

BC

|•|

B1B

|cos60°=3，
∴

AC

•

B1B

=0，即AC⊥B₁B，
又BD∩B₁B=B，∴AC⊥平面B₁BDD₁．（4分）
（Ⅱ）解：∵∠ABC=60°，AB=BC=2，∴BO=

3

，
在△ABB₁中，B₁A²=AB²+B₁B2-2AB×B₁Bcos60°=7，
在直角△B₁OA中，B₁O2=B₁A²-OA²=6，B₁O=

6

，
∴B₁O²+BO²=9=B₁B²，
∴∠B₁OB=90°，B₁O⊥BO．（10分）
∴以O(shè)為原點(diǎn)，以DB為x軸、AC為y軸、OB₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，A（0，-1，0），D₁（-2

3

，0，

6

），
∵BC₁∥AD₁，∴BC₁與平面ABCD所成角等于AD₁與平面ABCD所成角，設(shè)這個(gè)為角θ，
而

AD1

=（-2

3

，1，

6

），平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1）
∴cos＜

n

，

AD1

＞=

n • AD1

| n |•| AD1 |

=

6

19

=

114

19

，＜

n

，

AD1

＞＜

π

2

．
∴θ=

π

2

-＜

n

，

AD1

＞，
BC₁與平面ABCD所成角的正弦值sinθ=cos＜

n

，

AD1

＞=

114

19

．（12分）
解法二：
（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為菱形，∴AC⊥BD．
又∵AB=BC，∠B₁BA=∠B₁BC，B₁B=B₁B，
∴△ABB₁≌△CBB₁，B₁A=B₁C．
而菱形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴B₁O⊥AC
∴AC⊥平面B₁BDD₁（4分）
（Ⅱ）解：設(shè)菱形A₁B₁C₁D₁對(duì)角線的交點(diǎn)為O₁，
連接O₁O，則O₁O∥B₁B，∠O₁OD=∠B₁BD
由知AC⊥平面B₁BDD₁，∴AC⊥O₁O，又BD⊥AC
∴∠O₁OD為平面A₁ACC₁與平面ABCD所成二面角的平面角，（6分）
∵∠ABC=60°，AB=BC=2，∴BO=

3

，
在△ABB₁中，B₁A²=AB²+B₁B²-2AB×B₁Bcos60°=7
在直角△B₁OA中，B₁O²=B₁A²-OA²=6，B₁O=

6

，
∴B₁O²+BO²=9=B₁B²，∴∠B₁OB=90°，B₁O⊥BO
∴B₁O⊥平面ABCD，∴平面B₁AC⊥平面ABCD
連接BC₁交B₁C于E，E就為BC₁的中點(diǎn)．
在△B₁OC中，作EF⊥OC，垂足為F，連接BF，則EF∥B₁O，EF⊥平面ABCD，
∠EBF就為BC₁與平面ABCD所成角，（10分）
∴EF⊥BF，EF=

1

2

B₁O=

6

2

，而BF²=OF²+OB²=

13

4

，BE²=EF²+BF²=

19

4

，BE=

19

2

，
∴BC₁與平面ABCD所成角的正弦值sin∠EBF=

6 2

19 2

=

114

19

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．