Question

20．設{a_n}為公比不為1的等比數(shù)列，a₄=16，其前n項和為S_n，且5S₁、2S₂、S₃成等差數(shù)列．
（l）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．求出T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用對數(shù)的運算性質、“裂項求和”、數(shù)列的單調性即可得出．

解答 解：（1）∵5S₁、2S₂、S₃成等差數(shù)列，
∴4S₂=5S₁+S₃，即4（a₁+a₁q）=5a₁+${a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}$，
∴q²-3q+2=0，
∵q≠1，∴q=2．
又∵a₄=16，即${a}_{1}{q}^{3}$=8a₁=16，a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）解：b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$，
顯然T_n關于正整數(shù)n是單調遞增的，
∴T_min=T₁=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算性質、“裂項求和”、數(shù)列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．