Question

10．若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）對于D上的n個值x₁，x₂，…x_n，總滿足$\frac{1}{n}[{f（{x_1}）+f（{x_2}）+…+f（{x_n}）}]≤f（\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_n}}}{n}$），稱函數(shù)f（x）為D上的凸函數(shù)；現(xiàn)已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函數(shù)，則△ABC中，sinA+sinB+sinC最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）=sinx在（0，π）上是凸函數(shù)以及凸函數(shù)的定義可得$\frac{f（A）+f（B）+f（C）}{3}$≤f（$\frac{A+B+C}{3}$）=f（ $\frac{π}{3}$），即sinA+sinB+sinC≤3sin $\frac{π}{3}$，由此求得sinA+sinB+sinC的最大值．

解答 解：：∵f（x）=sinx在區(qū)間（0，π）上是凸函數(shù)，
且A、B、C∈（0，π），
∴$\frac{f（A）+f（B）+f（C）}{3}$≤f（$\frac{A+B+C}{3}$）=f（ $\frac{π}{3}$），即sinA+sinB+sinC≤3sin $\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
所以sinA+sinB+sinC的最大值為 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的最值問題．關(guān)鍵是利用新定義得到所需內(nèi)角的三角函數(shù)關(guān)系；考查了考生運用所給條件分析問題的能力和創(chuàng)造性解決問題的能力，屬于中檔題．