Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，直線l₁：y=-t²+8t（其中0≤t≤2，t為常數），l₂：x=2的圖象如圖所示．
（1）根據圖象求a、b、c的值；
（2）求陰影面積S關于t的函數S（t）的解析式；
（3）若g（x）=6lnx+m，問是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）由圖形知：

c=0 64a+8b+c=0 4ac-b2 4a =16

，即可求a、b、c的值；
（2）利用定積分求陰影面積S關于t的函數S（t）的解析式；
（3）遇到關于兩個函數的圖象的交點個數的問題，一般是構造新函數，題目轉化為研究函數的零點問題，通過導數得到函數的最值，把函數的最值同0進行比較，得到結果．

解答： 解：（1）由圖形知：

c=0 64a+8b+c=0 4ac-b2 4a =16

 …（2分）解之，得a=-1，b=8，c=0
∴函數f（x）的解析式為f（x）=-x²+8x．…（4分）
（2）由f（x）=-x²+8x與直線l₁：y=-t²+8t聯立可得x²-8x-t（t-8）=0，
∴x=t或x=8-t
∵0≤t≤2，∴t＜8-t
∴直線l₁與f（x）的圖象的交點坐標為（t，-t²+8t）            …（7分）
由定積分的幾何意義知：S（t）=

∫

t 0

[（-t²+8t）-（-x²+8x）]dx+

∫

2 t

[（-x²+8x）-（-t²+8t）]dx
=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

．…（9分）
（3）令m（x）=g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m
要使函數f（x）與函數g（x）有且僅有2個不同的交點，則函數m（x）=g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點．…（10分）
∴m′（x）=

2(x-1)(x-3)

x

（x＞0）．
當x∈（0，1）時，m′（x）＞0，m（x）是增函數；
當x∈（1，3）時，m′（x）＜0，m（x）是減函數；
當x∈（3，+∞）時，m′（x）＞0，m（x）是增函數；
當x=1，或x=3時，m′（x）=0．
∴m（x）_最大值=m（1）=m-7，m（x）_最小值=m（3）=m+6ln3-15．
∵當x充分接近0時，m（x）＜0，當x充分大時，m（x）＞0．
∴要使m（x）的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須

m-7＞0 m+6ln3-15＜0

即7＜m＜15-6ln3．
∴存在實數m，使得函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為（7，15-6ln3）．…（14分）

點評：本小題主要考查函數的單調性、極值、最值等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查運算能力，考查函數與方程、數形結合、分類與整合等數學思想方法和分析問題、解決問題的能力．