Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，直線l₁：y=-t²+8t（其中0≤t≤2，t為常數(shù)），l₂：x=2的圖象如圖所示．
（1）根據(jù)圖象求a、b、c的值；
（2）求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S（t）的解析式；
（3）若g（x）=6lnx+m，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由圖形知：

c=0 64a+8b+c=0 4ac-b2 4a =16

，即可求a、b、c的值；
（2）利用定積分求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S（t）的解析式；
（3）遇到關(guān)于兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，一般是構(gòu)造新函數(shù)，題目轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，通過導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的最值，把函數(shù)的最值同0進(jìn)行比較，得到結(jié)果．

解答： 解：（1）由圖形知：

c=0 64a+8b+c=0 4ac-b2 4a =16

 …（2分）解之，得a=-1，b=8，c=0
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=-x²+8x．…（4分）
（2）由f（x）=-x²+8x與直線l₁：y=-t²+8t聯(lián)立可得x²-8x-t（t-8）=0，
∴x=t或x=8-t
∵0≤t≤2，∴t＜8-t
∴直線l₁與f（x）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-t²+8t）            …（7分）
由定積分的幾何意義知：S（t）=

∫

t 0

[（-t²+8t）-（-x²+8x）]dx+

∫

2 t

[（-x²+8x）-（-t²+8t）]dx
=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

．…（9分）
（3）令m（x）=g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m
要使函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)m（x）=g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．…（10分）
∴m′（x）=

2(x-1)(x-3)

x

（x＞0）．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，m′（x）＞0，m（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，m′（x）＜0，m（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，m′（x）＞0，m（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x=1，或x=3時(shí)，m′（x）=0．
∴m（x）_最大值=m（1）=m-7，m（x）_最小值=m（3）=m+6ln3-15．
∵當(dāng)x充分接近0時(shí)，m（x）＜0，當(dāng)x充分大時(shí)，m（x）＞0．
∴要使m（x）的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須

m-7＞0 m+6ln3-15＜0

即7＜m＜15-6ln3．
∴存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，m的取值范圍為（7，15-6ln3）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問題、解決問題的能力．