Question

如圖，在四面體ABCD中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=

3

，D是AC的中點，點E在AB上，AB=3AE．
（Ⅰ）求證：AO⊥DE；
（Ⅱ）求二面角O-AC-B的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取BE中點F，連結OF，由已知條件推導出AO⊥OF，又OC⊥AO，從而得到AO⊥面COF，由此能證明AO⊥DE．
（Ⅱ）連結DF、OD、OF，由已知得CO⊥平面AOB，OP是DF在平面AOC內的射影，從而推導出∠ODF為二面角的平面角，由此能求出二面角O-AC-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取BE中點F，連結OF，依題意有DE∥CF，
在△AOB中，∠AOB=120°，且OA=OB=

3

，
由余弦定理得AB=3，∵AB=3AE，∴AF=2，OF=1，
∴AO⊥OF，又OC⊥AO，
∴AO⊥面COF，∴AO⊥CF，
∴AO⊥DE．
（Ⅱ）解：連結DF、OD、OF，
由OC⊥OA，OC⊥OB知CO⊥平面AOB，
∴OP是DF在平面AOC內的射影，
在等腰三角形AOC中，D為AC的中點，AC⊥OD，且OD=

6

2

，
由三垂線定理知AC⊥DF，
∴∠ODF為二面角的平面角，
∴在Rt△DOF中，DF=

OD2+OF2

=

10

2

，
∴cos∠ODF=

OD

DF

=

6 2

10 2

=

15

5

．
∴二面角O-AC-B的余弦值為

15

5

．

點評：本題考查異面垂直垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．