Question

已知向量

a

=（

3

，-1），

b

=（cos

x

3

，sin

x

3

），記f（x）=2

a

•

b

sin

x

3

．
（1）若x∈[0，π]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）設(shè)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若f（c）=1，且b²=ac，求sinA的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用向量的數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（II）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性有界性、勾股定理、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2

3

sin

x

3

cos

x

3

-2sin2

x

3

=

3

sin

2x

3

+cos

2x

3

-1=2sin(

2x

3

+

π

6

)-1．
∵x∈[0，π]，∴

π

6

≤

2x

3

+

π

6

≤

5π

6

，
∴

1

2

≤sin(

2x

3

+

π

6

)≤1，
∴0≤2sin(

2x

3

+

π

6

)-1≤1，
∴f（x）的值域為[0，1]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(C)=2sin(

2C

3

+

π

6

)-1=1，
∴sin(

2C

3

+

π

6

)=1，
又C∈（0，π），
∴

π

6

≤

2C

3

+

π

6

≤

5π

6

，
∴C=

π

2

，
在Rt△ABC中，∵b²=ac，c²=a²+b²，
∴c2=a2+ac⇒(

a

c

)2+

a

c

-1=0，
又c＞a，解得

a

c

=

-1+ 5

2

，
∴sinA=

a

c

=

5 -1

2

．

點評：本題考查了向量的數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、勾股定理、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．