Question

1．設(shè)x，y∈R，定義x?y=x（a-y）（a∈R，且a為常數(shù)），若f（x）=e^x，g（x）=e^-x+2x²，F(xiàn)（x）=f（x）?g（x）．
①g（x）不存在極值；
②若f（x）的反函數(shù)為h（x），且函數(shù)y=kx與函數(shù)y=|h（x）|有兩個交點，則k=$\frac{1}{e}$；
③若F（x）在R上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]；
④若a=-3，在F（x）的曲線上存在兩點，使得過這兩點的切線互相垂直．
其中真命題的序號有②③．（把所有真命題序號寫上）

Answer 1

分析 由已知中x?y=x（a-y）（a∈R，且a為常數(shù)），若f（x）=e^x，g（x）=e^-x+2x²，F(xiàn)（x）=f（x）?g（x）求出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，分析四個結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：∵x?y=x（a-y），f（x）=e^x，g（x）=e^-x+2x²，
∴F（x）=f（x）?g（x）=e^x（a-e^-x-2x²），
則F′（x）=-e^x（2x²+4x-a），
當2x²+4x-a=0的△＞0時，g（x）即有極大值，又有極小值，故①錯誤；
∵f（x）的反函數(shù)為h（x），
∴h（x）=lnx，若函數(shù)y=kx與函數(shù)y=|h（x）|有兩個交點，
則y=kx與函數(shù)y=lnx，（x＞1）相切，
此時切點為（e，1），切線斜率為$\frac{1}{e}$；
故②正確；
若F（x）在減函數(shù)，則F′（x）≤0對于x∈R恒成立，
即-e^x（2x²+4x-a）≤0恒成立，
∵-e^x＜0，
∴2x²+4x-a≥0恒成立，
∴△=16-8（-a）≤0，
∴a≤-2；
即實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]，故③正確；
④當a=-3時，F(xiàn)（x）=-3e^x-1-2x²e^x，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是F（x）曲線上的任意兩點，
∵F′（x）=-e^x（2x²+4x+3）
=-e^x[2（x+1）²+1]＜0，
∴F′（x₁）•F′（x₂）＞0，
∴F′（x₁）•F′（x₂）=-1 不成立．
∴F（x）的曲線上不存的兩點，使得過這兩點的切線點互相垂直．
故④錯誤；
故真命題的序號為：②③，
故答案為：②③

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的極值，零點，單調(diào)性等知識點，難度中檔．