Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1-x}$+lg$\frac{1+x}{1-x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域，并判斷它的單調(diào)性（不用證明）；
（2）若f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），解方程f^-1（x）=$\frac{1}{2}$；
（3）解關(guān)于x的不等式：f[x（x+1）]＞1．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1+x}{1-x}＞0$，求解分式不等式可得f（x）的定義域，利用反比例函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象的變換可得f（x）在定義域（-1，1）內(nèi)是增函數(shù)；
（2）求解方程f^-1（x）=$\frac{1}{2}$，等價于在函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1-x}$+lg$\frac{1+x}{1-x}$中取x=$\frac{1}{2}$求解y值；
（3）由f[x（x+1）]＞1=f（0），結(jié)合f（x）為定義在（-1，1）上的增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解．

解答 解：（1）由$\frac{1+x}{1-x}＞0$，及1-x≠0，得：-1＜x＜1，
∴f（x）的定義域為（-1，1），
由于y=lg$\frac{1+x}{1-x}$=lg（-1+$\frac{2}{1-x}$）和y=$\frac{1}{1-x}$在（-1，1）上都是增函數(shù)，
∴f（x）在定義域（-1，1）內(nèi)是增函數(shù)；
（2）∵f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），求解方程f^-1（x）=$\frac{1}{2}$，即在函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1-x}$+lg$\frac{1+x}{1-x}$中取x=$\frac{1}{2}$求解y值，
則y=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}+lg\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=2+lg3．
∴解方程f^-1（x）=$\frac{1}{2}$的解為x=2+lg3；
（3）由f[x（x+1）]＞1=f（0），且f（x）為定義在（-1，1）上的增函數(shù)，得0＜x（x+1）＜1，
解得-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$＜x＜-1或0＜x＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，即不等式f[x（x+1）]＞1的解集為（-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，-1）∪（0，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，考查函數(shù)的反函數(shù)的求法，考查函數(shù)的值域與其反函數(shù)的定義域的關(guān)系，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，是中檔題．