Question

7．已知正數(shù)等比數(shù)列{a_n}，a₁=1，a₃=2，則a₁a₂+a₃a₄+a₅a₆+…+a_2n-1a_2n的值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$（2ⁿ-1）
• B． 2（2ⁿ-1）
• C． $\frac{\sqrt{2}（{4}^{n}-1）}{3}$
• D． $\frac{2（{4}^{n}-1）}{3}$

Answer 1

分析 通過a₁=1，a₃=2，得公比q，從而可得a_2n-1a_2n=$\frac{\sqrt{2}}{4}×{4}^{n}$，即數(shù)列{a_2n-1a_2n}是以$\sqrt{2}$為首項，4為公比的等比數(shù)列，計算即可．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a₁=1，a₃=2，
∴${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$=2，
又∵數(shù)列{a_n}為正數(shù)等比數(shù)列，
∴${a}_{2}=\sqrt{2}$，
∴公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，
∴a_2n-1=${a}_{1}{q}^{2n-1-1}$=2^n-1，a_2n=${a}_{1}{q}^{2n-1}$=${2}^{n-\frac{1}{2}}$，
∴a_2n-1a_2n=${2}^{n-1}×{2}^{n-\frac{1}{2}}$=${2}^{2n-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}×{4}^{n}$，
∴a₁a₂+a₃a₄+a₅a₆+…+a_2n-1a_2n=$\frac{\sqrt{2}}{4}$×$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}（{4}^{n}-1）$，
故選：C．

點評 本題考查等比數(shù)列的公比，通項公式，前n項和公式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．