Question

17．已知圓M：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）的圓心F是拋物線E：$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$的焦點(diǎn)，過F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求|AF|•|FB|的取值范圍．

Answer 1

分析 圓M：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）化為（x-1）²+y²=1，可得圓心F．拋物線E：$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$化為y²=2px，可得$\frac{p}{2}$=1，解得p，拋物線方程為：y²=4x．當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，x_A=x_B=1，利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得|AF|=x_A+$\frac{p}{2}$，|BF|=x_B+$\frac{p}{2}$，可得|AF|•|FB|．當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），代入拋物線方程可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AF|•|FB|=（x_A+1）（x_B+1）=x_A+x_B+x_Ax_B+1，即可得出．

解答 解：圓M：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）化為（x-1）²+y²=1，可得圓心F（1，0）．
拋物線E：$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$化為y²=2px，∵焦點(diǎn)為F（1，0），∴$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
∴拋物線方程為：y²=4x．
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，x_A=x_B=1，
∴|AF|=x_A+$\frac{p}{2}$=2，|BF|=x_B+$\frac{p}{2}$=2，
∴|AF|•|FB|=4．
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x_A+x_B=$2+\frac{4}{{k}^{2}}$，x_Ax_B=1．
∴|AF|•|FB|=（x_A+1）（x_B+1）=x_A+x_B+x_Ax_B+1=$2+\frac{4}{{k}^{2}}$+1+1＞4．
∴|AF|•|FB|的取值范圍是（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了把參數(shù)方程化為普通方程、拋物線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．