Question

在空間直角坐標系中，四棱錐S-ABCD的底面ABCD為直角梯形，∠ABC=90°，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

，則平面SAB與平面SCD夾角的余弦值是

 

．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：首先建立空間直角坐標系，進一步利用線面的垂直之間的轉(zhuǎn)化，先求出平面的法向量，再利用向量的數(shù)量積，求出平面的夾角．

解答： 解：建立空間直角坐標系A-xyz，
則：SA⊥平面ABCD
四棱錐S-ABCD的底面ABCD為直角梯形，∠ABC=90°，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

，
則：S（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，

1

2

，0）
則：

CD

=(-1，-

1

2

，0)，

SC

=(1，1，-1)，

BC

=(0，1，0)
由于：SA⊥平面ABCD，∠ABC=90°，
則BC⊥平面SAB
則：平面SAB的法向量為：

BC

=(0，1，0)
設：平面SCD的法向量為：

n

=(x，y，z)
利用：

n • SC =0 n • CD =0

解得：

n

=(-1，2，1)
設平面SAB與平面SCD夾角為θ
則：cosθ=

BC • n

| BC || n |

=

6

3

則：面SAB與平面SCD夾角的余弦值為

6

3

故答案為：

6

3

點評：本題考查的知識要點：空間直角坐標系，法向量二面角的應用及相關的運算問題．屬于基礎題型．