Question

7．（文科做）已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{2a}{x}$-（a+2）lnx，其中實(shí)數(shù)a≥0．
（1）若a=0，求函數(shù)f（x）在x∈[1，3]上的最值；
（2）若a＞0，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x-2lnx，∴f′（x）=$\frac{x-2}{x}$，
令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，

x	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		-	0	+
f（x）	1	↘	2-2ln2	↗	3-2ln3

從上表可知，
∵f（3）-f（1）=2-2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），
函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值是1，最小值為2-2ln2；
（2）$f'（x）=1+\frac{2a}{x^2}-\frac{a+2}{x}=\frac{{{x^2}-（a+2）x+2a}}{x^2}=\frac{（x-2）（x-a）}{x^2}$，
①當(dāng)a＞2時(shí)，x∈（0，2）∪（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（2，a）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（2，a）；
②當(dāng)a=2時(shí)，∵$f'（x）=\frac{{{{（x-2）}^2}}}{x^2}＞0（x≠2）$，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，x∈（0，a）∪（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（a，2）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a，2）；
綜上，當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（2，a）；
當(dāng)a=2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．