Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+a（x²-3x+2），其中a∈R．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，對(duì)?x＞1，f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出a的最大值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1，f（x）=lnx+x²-3x+2，定義域?yàn)椋?，+∞）…（1分），
$f'（x）=\frac{1}{x}+2x-3=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}=\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$…（2分）
令f′（x）＞0，解得$0＜x＜\frac{1}{2}或x＞1$…（3分）
令f′（x）＜0，解得$\frac{1}{2}＜x＜1$…（4分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間有$（0，\frac{1}{2}）$和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為$（\frac{1}{2}，1）$…（5分）
（2）$f'（x）=\frac{1}{x}+a（2x-3）$=$\frac{{2a{x^2}-3ax+1}}{x}$，因?yàn)閍＞0
令g（x）=2ax²-3ax+1，g（x）的對(duì)稱軸$x=\frac{3}{4}$，…（6分）
①當(dāng)$g（\frac{3}{4}）≥0$時(shí)，即$0＜a≤\frac{8}{9}$，x∈（0，+∞），g（x）≥0，
所以f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
x＞1，f（x）＞f（1）=0，即$0＜a≤\frac{8}{9}$，對(duì)?x＞1，f（x）≥0成立；          …（8分）
②當(dāng)$g（\frac{3}{4}）＜0$時(shí)，即$a＞\frac{8}{9}$，g（x）=2ax²-3ax+1=0的兩根為：
$x_1^{\;}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，且0＜x₁＜x₂…（9分）
若$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}≤1$，即$\frac{8}{9}＜a≤1$時(shí)x∈（1，+∞）時(shí)，
f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又f（1）=0，所以x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞f（1）=0，符合題意；              …（10分）
若$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞1$，即a＞1時(shí)，
$0＜\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＜1$$＜\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}$，即0＜x₁＜1＜x₂
由f（1）=0，函數(shù)f（x）在（x₁，x₂）單調(diào)遞減，
所以x∈（1，x₂）時(shí)，f（x）＜f（1）=0不符合題意                              …（11分）
綜上所述，a的取值范圍是（0，1]，所以a的最大值為1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．