Question

16．已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{a_n}的前7項(xiàng)和為70，且a₃為a₁和a₇的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n+1-b_n=a_n，n∈N^*且b₁=2，求數(shù)列$\{\frac{1}{b_n}\}$的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），通過前7項(xiàng)和為70、且a₃為a₁和a₇的等比中項(xiàng)，可得首項(xiàng)和公差，計(jì)算即可；
（II）通過遞推可得b_n=n（n+1），從而$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用并項(xiàng)法即得結(jié)論．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{1}+21d=70}\\{{a}_{1}•（{a}_{1}+6d）=（{a}_{1}+2d）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{{a}_{1}=4}\end{array}\right.$，
∴a_n=2n+2；
（II）∵b_n+1-b_n=a_n，∴b_n-b_n-1=a_n-1=2n  （n≥2，n∈N^*），
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=n（n+1），
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和，考查遞推公式，利用并項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．