Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3．
（1）當(dāng)a＞2時，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）當(dāng)a＜2時，試討論方程f（x）=0根的個數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，并分解因式，畫表求出單調(diào)區(qū)間和極值，求出a＞2的極小值；
（2）當(dāng)a=0時，顯然f（x）=-3x²+6x-3只有一個零點(diǎn)；
當(dāng)a≠0時，f′（x）=3a（x-

2

a

）（x-1），分別討論a＜0，0＜a＜2，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)個數(shù)．

解答： 解：f′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3（ax-2）（x-1），
（1）當(dāng)a＞2時，0＜

2

a

＜1

	（-∞， 2 a ）	2 a	（ 2 a ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

∴f_極小值=f（1）=-

a

2

；
（2）當(dāng)a=0時，顯然f（x）=-3x²+6x-3只有一個零點(diǎn)；
當(dāng)a≠0時，f′（x）=3a（x-

2

a

）（x-1）
當(dāng)a＜0時，f（x）在（-∞，

2

a

），（1，+∞）遞減；在（

2

a

，1）遞增，f（1）＞0，f（

2

a

）＜0
則f（x）有三個零點(diǎn)．
當(dāng)0＜a＜2時，f（x）在（-∞，1），（

2

a

，+∞）遞增；在（1，

2

a

）遞減，f（1）＜0，f（

2

a

）＜0
則f（x）只有一個零點(diǎn)．
綜上所述：當(dāng)0≤a＜2時，f（x）只有一個零點(diǎn)；
當(dāng)a＜0時，f（x）有三個零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運(yùn)用，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值，函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于中檔題．