Question

17．已知函數(shù)f（x）=2cos²2x-2，給出下列命題：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2，0]；
②x=$\frac{π}{8}$為函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸；
③?β∈R，f（x+β）為奇函數(shù)；
④?α∈（0，$\frac{3π}{4}$），f（x）=f（x+2α）對(duì)x∈R恒成立，
其中的真命題有（　�。�

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②③
• D． ①④

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），求出函數(shù)f（x）的值域，判斷①正確；
計(jì)算f（$\frac{π}{8}$）不是函數(shù)的最值，判斷x=$\frac{π}{8}$不是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，判斷②錯(cuò)誤；
畫(huà)出f（x）的圖象，根據(jù)圖象平移判斷函數(shù)f（x+β）不是奇函數(shù)，判斷③錯(cuò)誤；
根據(jù)f（x）=f（x+2α）求出方程在α∈（0，$\frac{3π}{4}$）的解判斷④正確．

解答 解：由題意，f（x）=2cos²2x-2=cos4x-1；
對(duì)于①，cos4x∈[-1，1]，∴cos4x-1∈[-2，0]，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2，0]，①正確；
對(duì)于②，x=$\frac{π}{8}$時(shí)，f（$\frac{π}{8}$）=cos$\frac{π}{2}$-1=-1，
∴x=$\frac{π}{8}$不是函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸，∴②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，∵f（x）=cos4x-1的圖象如圖所示，；
函數(shù)f（x+β）的圖象是f（x）的圖象向左或向右平移|β|個(gè)單位，
它不會(huì)是奇函數(shù)的，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，f（x）=f（x+2α），∴cos4x-1=cos（4x+8α）-1，
∴8α=2kπ，∴α=$\frac{kπ}{4}$，k∈Z；
又α∈（0，$\frac{3π}{4}$），α=$\frac{π}{4}$或$\frac{π}{2}$，④正確．
綜上，真命題是①④．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了命題真假的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．