Question

6．已知直線2x-$\sqrt{3}$y=0為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的方程可得其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，結(jié)合題意可得$\frac{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，又由雙曲線離心率公式e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，
其漸近線方程為：y=±$\frac{a}$x，
又由其一條漸近線的方程為：2x-$\sqrt{3}$y=0，即y=$\frac{2}{\sqrt{3}}x$，
則有$\frac{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
則其離心率e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{7}{3}$，
則有e=$\frac{\sqrt{21}}{3}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉雙曲線的離心率公式．