Question

已知函數f（x）=ax³-3x．
（1）求函數f（x）單調區(qū)間；
（2）若在區(qū)間[1，2]上，f（x）≥4恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數恒成立問題

專題：導數的綜合應用

分析：（1）a=0時，函數是減函數；a≠0時，由f（x）=ax³-3x（a≠0）⇒f′（x）=3ax²-3=3（ax²-1），分a＞0與a＜0討論，通過f′（x）的符號即可求得函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）利用導數判斷函數的單調性，從而得出函數在閉區(qū)間上的最小值，即得到參數的一個方程，從而求出參數．

解答： 解：（1）a=0時，f（x）=-3x，
∴f（x）的單調減區(qū)間是R；
當a≠0時，
∵f（x）=ax³-3x，a≠0，
∴f′（x）=3ax²-3=3（ax²-1），
∴當a＞0時，
由f′（x）＞0得：x＞

a

a

或x＜-

a

a

，
由f′（x）＜0得：-

a

a

＜x＜

a

a

當a＜0時，由f′（x）＞0得：x∈∅
由f′（x）＜0得：x∈R；
∴當a＞0時，函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-

a

a

），（

a

a

，+∞）；函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（-

a

a

，

a

a

），）；
當a＜0時函數f（x）的單調遞減區(qū)間為R；
（2）f′（x）=3ax²-3．
①當a≤0時，f′（x）≤0，此時函數f（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞減，
∴f（x）_min=f（2）=8a-6=4，
解得a=

5

4

，不符合a≤0，應舍去；
②當a＞0時，令f′（x）=3a（x+

1

a

）（x-

1

a

）=0，解得x=±

1

a

．
當2≤

1

a

時，即0＜a≤

1

4

時，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞減，
∴f（x）_min=f（2）=8a-6=4，
解得a=

5

4

，不符合0＜a≤

1

4

時，應舍去；
當1＜

1

a

＜2時，即

1

4

＜a＜1時，f（x）在區(qū)間[1，

1

a

]單調遞減，在區(qū)間[

1

a

，2]單調遞增，
∴f（x）min=f（

1

a

）=-

2

a

=4，無解，應舍去；
當

1

a

≤1時，即a≥1時，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（1）=a-3=4，解得a≥7，符合題意．
綜上可知：實數a的范圍a≥7．

點評：本題考查的是導數知識，重點是利用導數判斷函數的單調性，難點是分類討論．對學生的能力要求較高，屬于中檔題．