Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足條件

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；  
（2）記b_n=a_n2^a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把n=1代入

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

求出a₂，再求出公差d的值，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n；
（2）由（1）和題意求出b_n，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）由題意得，

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

(n∈N*)，a₁=1
當(dāng)n=1時(shí)，

a1+a2

a1

=

S2

S1

=3，所以a₂=2，
即公差d=a₂-a₁=1，所以a_n=n------------------------（6分）
（2）由（1）得，bn=an2an=n•2n，
所以Tn=2+2•22+3•23+…+(n-1)2n-1+n•2n，----------（8分）
2Tn=22+2•23+3•24+…+(n-1)2n+n•2n+1，
則(1-2)Tn=2+22+23+…+2n-1+2n-n2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n2n+1=(1-n)2n+1-2------（10分）
即Tn=(n-1)2n+1+2．-------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．