Question

12．已知函數(shù)f（x）=cos$\frac{π}{3}$sin2x-sin$\frac{π}{3}$cos2x（x∈R）．
（1）若x∈（0，$\frac{π}{2}$），求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）在△ABC中，若A＜B，f（A）=f（B）=$\frac{1}{2}$，求C．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值．
（2）根據(jù)A的范圍和特殊值，求得2A-$\frac{π}{3}$的值，進(jìn)而判斷出2B-$\frac{π}{3}$，分別求得A，B，最后利用三角形內(nèi)角和求得C．

解答 解：（1）f（x）=cos$\frac{π}{3}$sin2x-sin$\frac{π}{3}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
故當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$時，函數(shù)f（x）有最大值1．
（2）∵A＜B，
∴A∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∵sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{4}$，
∵A＜B，f（B）=$\frac{1}{2}$，
∴2B-$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，
∴B=$\frac{7π}{12}$，
∴C=π-A-B=$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了兩角和和出差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用．考查了學(xué)生推理能力．