Question

2．分別以一個(gè)直角三角形的斜邊，兩直角邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成三個(gè)幾何體，畫出它們的三視圖和直觀圖，并探討它們體積之間的關(guān)系．

Answer 1

分析 如圖所示三視圖和直觀圖，其體積分別為：V_a=$\frac{1}{3}π{a}^{2}b$，V_b=$\frac{1}{3}π^{2}a$，V_c=$\frac{1}{3}π•\frac{{a}^{2}^{2}}{c}$．不妨設(shè)c＞a≥b，可得a²b≥ab²＞$\frac{{a}^{2}^{2}}{c}$，即可得出大小關(guān)系．

解答 解：如圖所示，
（1）分別以直角邊a，b所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成三個(gè)幾何體，它們的三視圖和直觀圖，其體積分別為：V_a=$\frac{1}{3}π{a}^{2}b$，V_b=$\frac{1}{3}π^{2}a$．
（2）以一個(gè)直角三角形的斜邊c所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成三個(gè)幾何體，它們的三視圖和直觀圖，V_c=$\frac{1}{3}π（\frac{ab}{c}）^{2}•c$=$\frac{1}{3}π•\frac{{a}^{2}^{2}}{c}$．

（3）不妨設(shè)c＞a≥b，
則a²b≥ab²＞$\frac{{a}^{2}^{2}}{c}$，
∴V_a≥V_b＞V_c．

點(diǎn)評 本題考查了圓錐的三視圖及其直觀圖、圓錐體積計(jì)算公式、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．