Question

20．若函數(shù)f（x）=$\frac{|sinx|}{x}$-k在（O，+∞）上恰有兩個不同的零點x₁、x₂（x₁＜x₂），給出下列4個結論：
①tan（x₁+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1+{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$；
②tan（x₁+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$；
③tan（x₂+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$；
④tan（x₂+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$．
其中正確結論的個數(shù)是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由f（x）=0，轉化為|sinx|=kx，設g（x）=|sinx|，作出函數(shù)g（x）=|sinx|的圖象，利用數(shù)學結合求出對應的切線方程，結合兩角和差的正切公式進行求解即可．

解答 解：由f（x）=$\frac{|sinx|}{x}$-k=0，得|sinx|=kx，
設g（x）=|sinx|，作出函數(shù)g（x）=|sinx|的圖象如圖，
如函數(shù)f（x）=$\frac{|sinx|}{x}$-k在（O，+∞）上恰有兩個不同的零點，
則等價為函數(shù)g（x）=|sinx|與y=kx在（O，+∞）上恰有兩個不同交點，
即y=kx與g（x）=|sinx|在（π，$\frac{3π}{2}$）上相切，
此時g（x）=|sinx|=-sinx，則切點坐標為（x₂，-sinx₂），
函數(shù)的導數(shù)g′（x）=-cosx，切線斜率為g′（x₂）=-cosx₂，
則切線方程為y-（-sinx₂）=-cosx₂（x-x₂），
即y+sinx₂=-cosx₂（x-x₂），
∵切線過原點，
∴sinx₂=-cosx₂（0-x₂）=x₂cosx₂，
即tanx₂=x₂，
則tan（x₂+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan{x}_{2}+tan\frac{π}{4}}{1-tan{x}_{2}tan\frac{π}{4}}$=$\frac{1+tan{x}_{2}}{1-tan{x}_{2}}$=$\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$；
故C正確，
故正確的結論個數(shù)為1個，
故選：B．

點評 本題主要考查與函數(shù)有關的命題的真假判斷，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關系，轉化為兩個函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．