Question

11．已知f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）且滿足f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x，則f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{22}{27}$．

Answer 1

分析 對函數(shù)f（x）的解析式求導(dǎo)，得到其導(dǎo)函數(shù)，把x=$\frac{2}{3}$代入導(dǎo)函數(shù)中，列出關(guān)于f′（$\frac{2}{3}$）的方程，進(jìn)而得到f′（$\frac{2}{3}$）的值，確定出函數(shù)f（x）的解析式，把x=$\frac{2}{3}$代入
f（x）解析式，即可求出f（$\frac{2}{3}$）的值．

解答 解：由f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x，得f′（x）=3x²+2f′（$\frac{2}{3}$）x-1，
∴$f′（\frac{2}{3}）=3×（\frac{2}{3}）^{2}+2×\frac{2}{3}f′（\frac{2}{3}）-1$，解得：f′（$\frac{2}{3}$）=-1．
∴f（x）=x³-x²-x，
則f（$\frac{2}{3}$）=$（\frac{2}{3}）^{3}-（\frac{2}{3}）^{2}-\frac{2}{3}$=-$\frac{22}{27}$．
故答案為：-$\frac{22}{27}$．

點(diǎn)評 此題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及函數(shù)的值．運(yùn)用求導(dǎo)法則得出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出常數(shù)f′（$\frac{2}{3}$）的值，從而確定出函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵，是中檔題．