Question

已知向量

a

=（2sinx，2sinx），

b

=（sinx，cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）請(qǐng)說(shuō)出f（x）的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的（說(shuō)清每一步的變換方法）；
（3）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的最大值及取得最大值時(shí)的x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：雙向利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算明確f（x）的解析式，化簡(jiǎn)進(jìn)行所謂一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)名稱(chēng)的形式，然后求單調(diào)區(qū)間以及最值．

解答： 解：∵向量

a

=（2sinx，2sinx），

b

=（sinx，cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=

2

sin（2x-

π

4

）+1；
（1）∵y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，即-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，（k∈Z）
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，即

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ，（k∈Z）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]，（k∈Z）
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]，（k∈Z）；
（2）①將y=sinx圖象上的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)原來(lái)的

2

倍得到y(tǒng)=

2

sinx，再將y=

2

sinx的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的

1

2

，得到y(tǒng)=

2

sin2x，繼續(xù)將y=

2

sin2x的圖象向右平移

π

8

個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=

2

sin（2x-

π

4

）+1的圖象；
（3）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴當(dāng)2x-

π

4

=

π

2

時(shí)，f（x）的最大值為

2

+1，此時(shí)x=

3π

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角恒等變形求三角函數(shù)解析式以及求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值．