Question

已知函數(shù)f（x）=

x3-x2，x≤1 lnx，x＞1

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若不等式f（x）≤x+c對一切x∈R恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若不等式f（x）≤x+c對一切x∈R恒成立，求c的取值范圍

解答： 解：（1）當x≤1時，f′（x）=3x²-2x，
由f′（x）＜0解得0＜x＜

2

3

，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當x＞1時，函數(shù)f（x）=lnx單調(diào)遞增，不滿足條件，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間（0，

2

3

）；
（2）設g（x）=f（x）-x=

x3-x2-x， x≤1 lnx-1， x＞1

，
當x≤1時，g′（x）=3x²-2x-1，
由g′（x）＜0解得-

1

3

＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
由g′（x）＞0解得x＜-

1

3

或x＞1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當x＞1時，g（x）=lnx-1單調(diào)遞增，
所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-

1

3

)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-

1

3

，+∞)．
所以函數(shù)g(x)max=g(-

1

3

)=-

1

27

-

1

9

+

1

3

=

5

27

，
要使不等式f（x）≤x+c對一切x∈R恒成立，即g（x）≤c對一切x∈R恒成立，
所以c≥

5

27

．

點評：本題主要考查分段函數(shù)的應用以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值是解決不等式恒成立的基本方法．