Question

已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），傾斜角為

π

3

，曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²cos2θ=1．
（1）求直線l的參數(shù)方程及曲線C的普通方程；
（2）求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），傾斜角為

π

3

，即可得出可得直線l的參數(shù)方程為

x=2+ 1 2 t y= 3 2 t

（t為參數(shù)）；
由曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²cos2θ=1化為ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程可得t²-4t-6=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

．

解答： 解：（1）∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），傾斜角為

π

3

，∴可得直線l的參數(shù)方程為

x=2+ 1 2 t y= 3 2 t

（t為參數(shù)）；
由曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²cos2θ=1化為ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，可得直角坐標(biāo)方程：x²-y²=1．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程可得t²-4t-6=0，
∴t₁+t₂=4，t₁t₂=-6．
∴直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=2

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、利用參數(shù)的意義及其根與系數(shù)的關(guān)系求弦長(zhǎng)，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．