Question

19．已知二面角α-l-β的大小為60°，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若$AB=\sqrt{3}$，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{66}}}{11}$
• B． $\frac{{2\sqrt{22}}}{11}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 由題意通過(guò)等體積法，求出三棱錐的體積，然后求出D到平面ABC的距離．

解答 解：由題意，二面角α-l-β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，
若$AB=\sqrt{3}$，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐D-ABC的高為h，

所以AD=$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{11}}{4}$，
由V_B-ACD=V_D-ABC可知$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{11}}{4}$h
所以，h=$\frac{\sqrt{66}}{11}$
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求D到平面ABC的距離，考查空間角，考查體積的計(jì)算，正確利用等體積法是關(guān)鍵．