Question

11．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各頂點都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=$\sqrt{3}$，若球O的體積為$\frac{20}{3}$$\sqrt{5}$π，則這個直三棱柱的體積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)和球的對稱性，得球心O是△ABC和△A₁B₁C₁的外心連線段的中點，連接OA、OB、OC、O₁A、O₁B、O₁C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O₁A=1，由球O的體積算出OA=$\sqrt{5}$，然后在Rt△O₁OA中，用勾股定理算出O₁O=2，得三棱柱的高O₁O₂=4，最后算出底面積S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得此直三棱柱的體積．

解答 解：設(shè)△ABC和△A₁B₁C₁的外心分別為O₁、O₂，連接O₁O₂，
可得外接球的球心O為O₁O₂的中點，連接OA、OB、OC、O₁A、O₁B、O₁C
△ABC中，cosA=$\frac{{AB}^{2}+{AC}^{2}-{BC}^{2}}{2AB•AC}$=-$\frac{1}{2}$
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{2π}{3}$
根據(jù)正弦定理，得△ABC外接圓半徑O₁A=$\frac{BC}{2sinA}$=1
∵球O的體積為V=$\frac{4{πR}^{3}}{3}$=$\frac{20}{3}$π，∴OA=R=$\sqrt{5}$
Rt△O₁OA中，O₁O=$\sqrt{{OA}^{2}-{O}_{1}{A}^{2}}$=2，可得O₁O₂=2O₁O=4
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為S_△ABC×O₁O₂=$\sqrt{3}$
故答案為：$\sqrt{3}$

點評 本題給出直三棱柱的底面三角形的形狀和外接球的體積，求此三棱柱的體積，著重考查了球的體積公式式、直三棱柱的性質(zhì)和球的對稱性等知識，屬于中檔題．