Question

19．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（0，$\sqrt{3}$），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$，設(shè)直線l與曲線C的兩個交點(diǎn)為A、B，則|PA|•|PB|的值為6．

Answer 1

分析 利用cos²φ+sin²φ=1，可把曲線C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程．直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$，展開利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化為直角坐標(biāo)方程．可得直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），代入橢圓方程，利用|PA|•|PB|=-t₁t₂即可得出．

解答 解：曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{15}=1$．
直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$，展開化為：$2（\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ+\frac{1}{2}sinθ）$=$\sqrt{3}$，∴直角坐標(biāo)方程：$\sqrt{3}x+y=\sqrt{3}$，
可得直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）
代入橢圓方程可得：2t²+3t-12=0，
∴|PA|•|PB|=-t₁t₂=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、橢圓的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．