Question

【題目】如圖，將斜邊長為的等腰直角沿斜邊上的高折成直二面角，為中點(diǎn).

（1）求二面角的余弦值；

（2）為線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，求三棱錐外接球的體積.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

(1)設(shè)為中點(diǎn)，連接得出平面，由平面幾何可知，，則就是二面角的平面角，在中求解.
(2) 設(shè)直線與平面所成的角為,點(diǎn)到平面的距離為，則，由等體積法可得求得，當(dāng)最小時(shí)，直線與平面所成的角的正弦值最大，此時(shí)所成角也最大，從而當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角最大，此時(shí)，可求出三棱錐外接球的體積.

解法一：（1）設(shè)為中點(diǎn)，連接.

∵為等腰直角三角形，

且二面角為直二面角，

∴平面

∴，，

由平面幾何可知，，

∴，，

∴就是二面角的平面角，

在中，，，，

∴，

∴二面角的余弦值為.

（2）設(shè)直線與平面所成的角為，點(diǎn)到平面的距離為，

則，

在三棱錐中，，

由，求得，

∴當(dāng)最小時(shí)，直線與平面所成的角的正弦值最大，此時(shí)所成角也最大，

∴當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角最大，此時(shí).

由平面幾何知識(shí)可知，和都是直角三角形，設(shè)為的中點(diǎn)，

則，

∴三棱錐外接球的半徑為，

∴外接球的體積.

解法二：（1）∵為等腰直角三角形，且二面角為直二面角，

∴平面，

∴，

∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸軸軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

∵在平面圖形中，是斜邊為的等腰直角三角形，且為高的中點(diǎn)，

∴，，，，，

∴，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，

由，得，令，則

∴，

同理可求得，

∴，

∴二面角的余弦值為.

（2）如圖，設(shè)，

可得，

∴，

又由（1）可知平面的法向量為，∴，

即直線與平面所成的角的正弦值為，

∵，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

∴當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角最大，此時(shí).

由平面幾何知識(shí)可知，和都是直角三角形，設(shè)為的中點(diǎn)，

則，

∴三棱錐外接球的半徑為，

∴外接球的體積.