Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax-$\frac{1-a}{x}$，a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求導(dǎo)，利用二次求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：f′（x）=-$\frac{a{x}^{2}-x-1+a}{{x}^{2}}$  x＞0
令h（x）=ax²-x-1+a
h′（x）=2ax-1
當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＜0
h（x）遞減
∴h（x）＜h（0）=-1+a＜0
f′（x）＞0，f（x）遞增
當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{2}$
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2a}$時(shí)，h′（x）＜0
h（x）遞減
∴h（x）＜h（0）=-1+a＜0
f′（x）＞0，f（x）遞增
當(dāng)x＞$\frac{1}{2a}$時(shí)，h′（x）＞0
h（x）遞增
令h（x）=0得x=$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$
當(dāng)$\frac{1}{2a}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$時(shí)，h（x）＜0，
f′（x）＞0，f（x）遞增
當(dāng)x＞$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$時(shí)，h（x）＞0，
f′（x）＜0，f（x）遞減
故當(dāng)0＜x$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$時(shí)，f（x）遞增，當(dāng)x＞$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$時(shí)，f（x）遞減

點(diǎn)評(píng) 考查了二次求導(dǎo)和求根公式的綜合利用．