Question

17．設(shè)橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1上恰有兩點(diǎn)到直線y=x+4的距離等于$\sqrt{2}$，則m的取值范圍為3＜m＜35．

Answer 1

分析 求出與直線y=x+4的距離等于$\sqrt{2}$的直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式，即可求出m的取值范圍．

解答 解：設(shè)與直線y=x+4的距離等于$\sqrt{2}$的直線方程為y=x+c，則$\frac{|c-4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴c=2或6，
y=x+2代入x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1可得（m+1）x²+4x+4-m=0，△=16-4（m+1）（4-m）＞0，可得m＞3；
y=x+6代入x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1可得（m+1）x²+12x+36-m=0，△=144-4（m+1）（36-m）＜0，可得0＜m＜35；
∵橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1上恰有兩點(diǎn)到直線y=x+4的距離等于$\sqrt{2}$，
∴3＜m＜35．
故答案為：3＜m＜35．

點(diǎn)評 本題考查求m的取值范圍，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程，屬于中檔題．