Question

10．如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC、AD于點(diǎn)E、F．
（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等，在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎，如果不可能，請(qǐng)說明理由，如果可能，畫出圖形并寫出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的定義可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AB∥EF，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行求出AF∥BE，再根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明；
（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可得AD∥BC，對(duì)角線互相平分可得OA=OC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠1=∠2，然后利用“角邊角”證明△AOF和△COE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得到AF=CE；求出DF∥BE，DF=BE，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求出四邊形BEDF平行四邊形，再求出對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF是菱形；根據(jù)勾股定理列式求出AC=2，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義求出旋轉(zhuǎn)角即可．

解答 （1）證明：當(dāng)∠AOF=90°時(shí)，AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四邊形ABEF為平行四邊形；（2分）
（2）解：四邊形BEDF可以是菱形．
如圖，連接BF，DE，∵四邊形ABCD為平行四邊形，
在△AOF和△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=EC，OE=OF，
∴EF與BD互相平分．
∴當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF為菱形．（6分）

在Rt△ABC中，AC=2，∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，（7分）
∴∠AOF=45°，
∴AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，四邊形BEDF為菱形．（9分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，綜合題，但難度不大，熟練掌握平行四邊形，菱形的聯(lián)系與區(qū)別是解題的關(guān)鍵．