Question

10．每逢節(jié)假日，在微信好友群發(fā)紅包逐漸成為一種時尚，2016年春節(jié)期間，小張在自己的微信校友群，向在線的甲、乙、丙、丁四位校友隨機發(fā)放紅包，發(fā)放的規(guī)則為：每次發(fā)放1個，每個人搶到的概率相同．
（1）若小張隨機發(fā)放了3個紅包，求甲至少得到1個紅包的概率；
（2）小張在丁離線后隨機發(fā)放了3個紅包，其中2個紅包中各有5元，1個紅包中有10元，記乙所得紅包的總錢數(shù)為X元，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）設“甲至少得1紅包”為事件A，由題意利用n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式能求出甲至少得到1個紅包的概率．
（2）由題意知X的可能取值為0，5，10，15，20，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）設“甲至少得1紅包”為事件A，由題意得：
P（A）=${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{4}$×（$\frac{3}{4}$）²+${C}_{3}^{2}$×$（\frac{1}{4}）^{2}$×$\frac{3}{4}$+${C}_{3}^{3}$×（$\frac{1}{4}$）³×（$\frac{3}{4}$）⁰=$\frac{37}{64}$．
（2）由題意知X的可能取值為0，5，10，15，20，
P（X=0）=（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{8}{27}$，
P（X=5）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$，
P（X=10）=（$\frac{1}{3}$）²×$\frac{2}{3}$+（$\frac{2}{3}$）²×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=15）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{3}）^{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{27}$，
P（X=20）=$（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
∴X的分布列為：

X	0	5	10	15	20
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{1}{27}$

EX=0×$\frac{8}{27}+5×\frac{8}{27}+10×\frac{2}{9}+15×\frac{4}{27}+20×\frac{1}{27}$=$\frac{20}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列的性質、數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運用．