Question

18．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x）+f（2），且當x∈[0，2]時，y=f（x）單調(diào)遞減，給出以下四個命題：
①f（2）=0；　　　　
②y=f（x）在[8，10]單調(diào)遞增；
③x=4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；　
④若方程f（x）=m在[-6，-2]上的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-8
以上命題中不正確命題的序號為  （　�。�

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 根據(jù)條件，令x=-2便可得到f（2）=2f（2），從而得出f（2）=0，從而得出f（x）是周期為4的周期函數(shù)，而f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，從而得到f（x）在[8，10]上單調(diào)遞減．容易得到x=4和x=-4為f（x）的對稱軸，從而便可以得到$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-4$，即得到x₁+x₂=-8，這樣便可得出不正確命題的序號．

解答 解：f（x）為R上的偶函數(shù)，且f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2得：
f（2）=2f（2）；
∴f（2）=0，∴①正確；
∴f（x+4）=f（x）；
∴f（x）為周期為4的周期函數(shù)；
f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，∴f（x）在[0+4×2，2+4×2]=[8，10]上單調(diào)遞減，∴②錯誤；
f（x）關于y軸對稱，即x=0是f（x）的一條對稱軸；
∴x=4為函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，∴③正確；
x=-4為f（x）的一條對稱軸，∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-4$；
∴x₁+x₂=-8，∴④正確；
∴不正確的命題序號為②．
故選B．

點評 考查偶函數(shù)的定義，周期函數(shù)的定義，周期函數(shù)的單調(diào)性，本題中f（x）的對稱軸為x=4n，n∈Z，以及中點坐標公式．