Question

6．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對稱，?x₁，x₂∈[0，$\frac{1}{2}$]，恒有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=a＞0．
（1）求f（$\frac{1}{2}$）和f（$\frac{1}{4}$）；
（2）求證：f（x）為周期函數(shù)；
（3）設(shè)a_n=f（2n+$\frac{1}{2n}$），求a_n．

Answer 1

分析 （1）通過對x₁、x₂合理的賦值以及配湊，構(gòu)造所求的結(jié)論；
（2）已知f（x）為偶函數(shù)，再根據(jù)f（x）關(guān)于x=1對稱，進行證明；
（3）利用賦值和函數(shù)的周期性，即可求出a_n=${a}^{\frac{1}{2n}}$．

解答 解：（1）?x₁，x₂∈[0，$\frac{1}{2}$]，恒有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），
∴f（x）=f（$\frac{x}{2}$）•f（$\frac{x}{2}$），
∴f（1）=f（$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$）=a，即f（$\frac{1}{2}$）=${a}^{\frac{1}{2}}$，
f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{4}$）f（$\frac{1}{4}$）=${a}^{\frac{1}{2}}$，即f（$\frac{1}{4}$）=${a}^{\frac{1}{4}}$
（2）證明：依題y=f（x）關(guān)于直線x=1對稱，
故f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），x∈R
又由f（x）是偶函數(shù)知f（-x）=f（x），x∈R，
∴f（x）=f（x-2），x∈R，
得f（x）=f（x+2），x∈R
∴f（x）是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個最小正周期．
（3）由（Ⅰ）知f（x）≥0，x∈[0，1]，
∴f（$\frac{1}{2}$）=f（n$•\frac{1}{2n}$）=f（$\frac{1}{2n}$+（n-1）$\frac{1}{2n}$=f（$\frac{1}{2n}$）f（（n-1）$\frac{1}{2n}$）=…=f（$\frac{1}{2n}$）f（$\frac{1}{2n}$）…f（$\frac{1}{2n}$）=f（$\frac{1}{2n}$）ⁿ，
∴f（$\frac{1}{2n}$）=${a}^{\frac{1}{2n}}$，
∵f（x）的一個周期是2，
∴f（2n+$\frac{1}{2n}$）=f（$\frac{1}{2n}$）=${a}^{\frac{1}{2n}}$，
∴a_n=${a}^{\frac{1}{2n}}$

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的值，是函數(shù)問題的綜合應(yīng)用，由于題目中并未給函數(shù)的解析式，故要用到抽象函數(shù)的處理方法進行解答，屬中檔題．