Question

15．向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow$=（3cosβ，3sinβ），$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，則直線xcosα-ysinα=$\frac{1}{2}$與（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=$\frac{1}{2}$的位置關(guān)系是（　　）

• A． 相切
• B． 相交
• C． 相離
• D． 隨α，β的值而定

Answer 1

分析 由$cos60°=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$及向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標(biāo)便可得出$cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{1}{2}$，可知方程$（x-cosβ）^{2}+（y+sinβ）^{2}=\frac{1}{2}$表示圓心為（cosβ，-sinβ），半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圓，而由前面求出的$cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{1}{2}$即可求出圓心到直線$xcosα-ysinα=\frac{1}{2}$的距離，這樣便可判斷直線和圓的位置關(guān)系．

解答 解：根據(jù)條件，$cos60°=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{6cosαcosβ+6sinαsinβ}{2•3}$=$cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{1}{2}$；
方程$（x-cosβ）^{2}+（y+sinβ）^{2}=\frac{1}{2}$表示以（cosβ，-sinβ）為圓心，半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圓；
∴圓心（cosβ，-sinβ）到直線xcosα-ysinα=$\frac{1}{2}$的距離為：$\frac{|cosβcosα+sinβsinα-\frac{1}{2}|}{1}=0$；
∴所求的位置關(guān)系為：相交．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量夾角的余弦公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)向量坐標(biāo)能求向量的長(zhǎng)度，cos²α+sin²α=1，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離，直線和圓位置關(guān)系的判斷方法．