Question

10．已知拋物線E：x²=8y的焦點F到雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸進線的距離為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，且拋物線E上的動點M到雙曲線C的右焦點F₁（c，0）的距離與直線y=-2的距離之和的最小值為3，則雙曲線C的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 確定拋物線的焦點坐標(biāo)，雙曲線的漸近線方程，進而可得a=2b，再利用拋物線的定義，結(jié)合P到雙曲線C的右焦點F₁（c，0）的距離與到直線y=-2的距離之和的最小值為3，可得FF₁=3，從而可求雙曲線的幾何量，從而可得結(jié)論．

解答 解：拋物線x²=8y的焦點F（0，2）
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）一條漸近線的方程為bx-ay=0，
由拋物線x²=8y的焦點F到雙曲線C的漸近線的距離為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
可得d=$\frac{2a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，即有2b=a，
由P到雙曲線C的右焦點F₁（c，0）的距離與到直線y=-2的距離之和的最小值為3，
由拋物線的定義可得P到準(zhǔn)線的距離即為P到焦點F的距離，
可得|PF₁|+|PF|的最小值為3，
連接FF₁，可得|FF₁|=3，即c²+4=9，解得c=$\sqrt{5}$，
由c²=a²+b²，a=2b，解得a=2，b=1，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．
故選：B．

點評 本題主要考查了拋物線、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．