3.某校的學生文娛團隊由理科組和文科組構成,具體數(shù)據(jù)如表所示:
組別文科理科
性別男生女生男生女生
人數(shù)3132
學校準備從該文娛團隊中選出4人到某社區(qū)參加大型公益活動演出,每選出一名男生,給其所在的組記1分;每選出一名女生,給其所在的組記2分,要求被選出的4人中文科組和理科組的學生都有.
(I)求理科組恰好得4分的概率;
(II)記文科組的得分為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望EX.

分析 (Ⅰ)基本事件總數(shù):n=${C}_{4}^{1}{C}_{5}^{3}+{C}_{4}^{2}{C}_{5}^{2}$+${C}_{4}^{3}{C}_{5}^{1}$=120,“理科組恰好得4分“的選法有兩種情況:①從理科組中選取2男1女,再從文科組任選1人;②從理科組中選2名女生,再從文科組中任選2人.由此能求出理科組恰好得4分的概率.
(II)由題意知,文科組得分X的取值為1,2,3,4,分別求出相應的概率,由此能求出X的分布列和EX.

解答 解:(Ⅰ)∵被選出的4人中文科組和理科組的學生都有,
∴基本事件總數(shù):n=${C}_{4}^{1}{C}_{5}^{3}+{C}_{4}^{2}{C}_{5}^{2}$+${C}_{4}^{3}{C}_{5}^{1}$=120,
“理科組恰好得4分“的選法有兩種情況:
①從理科組中選取2男1女,再從文科組任選1人,共有:${C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}$=24種選法,
②從理科組中選2名女生,再從文科組中任選2人,共有:${C}_{2}^{2}{C}_{4}^{2}=6$種選法,
∴理科組恰好得4分的概率p=$\frac{24+6}{120}$=$\frac{1}{4}$.
(II)由題意知,文科組得分X的取值為1,2,3,4,
P(X=1)=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{3}}{120}$=$\frac{3×10}{120}$=$\frac{1}{4}$,
P(X=2)=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{5}^{2}+{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{3}}{120}$=$\frac{3×10+10}{120}$=$\frac{1}{3}$,
P(X=3)=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{5}^{1}+{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{2}}{120}=\frac{5+3×10}{120}$=$\frac{7}{24}$,
P(X=4)=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{1}}{120}=\frac{1}{8}$,
∴X的分布列為:

 X 1 2 3 4
 P $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{7}{24}$ $\frac{1}{8}$
EX=$1×\frac{1}{4}+2×\frac{1}{3}+3×\frac{7}{24}+4×\frac{1}{8}$=$\frac{55}{24}$.

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉化思想、是中檔題.

練習冊系列答案
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