Question

13．某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200度的部分按0.5元/度收費．超過200度但不超過400度的部分按0.8 元/度收費，超過400度的部分按1.0 元/度收費．
（I） 求某戶居民用電費用y（單位：元）關(guān)于月用電量x（單位：度）的函數(shù)解折式；
（II） 為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費用不超過260 元的占80%，求a，b的值：
（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的條件下，估計1月份該市居民用戶平均用電費用（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分段函數(shù)的性質(zhì)即可得出．
（Ⅱ）利用（Ⅰ），結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出．
（Ⅲ）由題意可知x可取50，150，250，350，450，550．結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（Ⅰ）當0≤x≤200時，y=0.5x；
當200＜x≤400時，y=0.5×200+0.8×（x-200）=0.8x-60，
當x＞400時，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x-400）=x-140，
所以y與x之間的函數(shù)解析式為：y=$\left\{\begin{array}{l}{0.5x，0≤x≤200}\\{0.8x-60，200＜x≤400}\\{x-140，x＞400}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：當y=260時，x=400，則P（x≤400）=0.80，
結(jié)合頻率分布直方圖可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，
∴a=0.0015，b=0.0020．
（Ⅲ）由題意可知x可取50，150，250，350，450，550．
當x=50時，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，
當x=150時，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，
當x=250時，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，
當x=350時，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，
當x=450時，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，
當x=550時，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．
故$\overline{y}$=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．
所以，估計1月份該市居民用戶平均用電費用為170.5元

點評 本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．