Question

3．判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）f（x）=cos（$\frac{3}{2}$π+2x）+x²sinx；
（2）f（x）=$\sqrt{1-2cosx}$+$\sqrt{2cosx-1}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，進而可得答案．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=cos（$\frac{3}{2}$π+2x）+x²sinx的定義域R關(guān)于原點對稱；
又∵f（x）=sin2x+x²sinx，
故f（-x）=sin（-2x）+（-x）²sin（-x）=-sin2x-x²sinx=-f（x），
故函數(shù)f（x）=cos（$\frac{3}{2}$π+2x）+x²sinx為奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）=$\sqrt{1-2cosx}$+$\sqrt{2cosx-1}$的定義域{x|cosx=$\frac{1}{2}$}={x|x=$±\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z}關(guān)于原點對稱．
且f（x）=0在定義域上恒成立，
故函數(shù)f（x）=$\sqrt{1-2cosx}$+$\sqrt{2cosx-1}$即是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，正確理解函數(shù)奇偶性的定義，是解答的關(guān)鍵．