Question

8．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{4}{x+1}$（a∈R）．
（1）當(dāng)a≥1時，求f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值與最小值之和；
（2）若f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間均存在，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先對原函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)a的范圍結(jié)合基本不等式判斷導(dǎo)數(shù)的符號，最終得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，問題獲解；
（2）只需導(dǎo)數(shù)在定義域（0，+∞）上有變號的根即可．結(jié)合二次函數(shù)的圖象解決問題．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=$\frac{a（{x}^{2}+1+2x）-4x}{x（x+1）^{2}}$．
因?yàn)閤＞0，且x²+1≥2x＞0，所以f′（x）$≥\frac{4x（a-1）}{x（x+1）^{2}}$，因?yàn)閍≥1，所以a-1≥0．
所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
所以f（x）_min+f（x）_max=f（$\frac{1}{e}$）+f（e）=4．
（2）由（1）知$f′（x）=\frac{a{x}^{2}+（2a-4）x+a}{x（x+1）^{2}}$．顯然x（x+1）²＞0．
令g（x）=ax²+（2a-4）x+a，由題意，只需g（x）=0在（0，+∞）上有變號根即可．
當(dāng)a=0時，g（x）=-4x，令g（x）=0，得x=0顯然不符題意；
當(dāng)a＜0時，該函數(shù)對稱軸為$x=-\frac{2a-4}{2a}＜0$，且g（0）=a＜0，所以此時g（x）=0不會有正實(shí)數(shù)根，故a＜0不符合題意；
當(dāng)a＞0時，因?yàn)間（0）=a＞0，所以要使g（x）=0有正的變號根，只需
$\left\{\begin{array}{l}{△=（2a-4）^{2}-4{a}^{2}＞0}\\{-\frac{2a-4}{2a}＞0}\end{array}\right.$即可，解得0＜a＜1．
故a的取值范圍是（0，1）．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求最值的思路，第二問將函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題求解，概念性較強(qiáng)，要注意體會轉(zhuǎn)化的過程．