Question

18．已知曲線Γ：ρ=$\frac{{\frac{3}{2}}}{{1-\frac{1}{2}cosθ}}$，θ∈R與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$，t∈R相交于A，B兩點，又原點O（0，0），則|OA|•|OB|=$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 首先把曲線的極坐標方程轉換為直角坐標方程，進一步把參數(shù)方程轉化為直角坐標方程，建立方程組求出交點的坐標，最后利用兩點間的距離公式求出結果．

解答 解：曲線Γ：ρ=$\frac{{\frac{3}{2}}}{{1-\frac{1}{2}cosθ}}$，θ∈R
轉化成：$ρ-\frac{1}{2}ρcosθ=\frac{3}{2}$，
轉化成直角坐標方程為：$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，
整理得：3x²+4y²-6x-9=0，
曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$，t∈R轉化為直角坐標方程為：y=$\sqrt{3}x$，
所以：$\left\{\begin{array}{l}3{x}^{2}+4{y}^{2}-6x-9=0\\ y=\sqrt{3}x\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\sqrt{3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{5}\\ y=-\frac{3\sqrt{3}}{5}\end{array}\right.$
所以：|OA|=2，$\left|OB\right|=\frac{6}{5}$
則：|OA||OB|=$\frac{12}{5}$．
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查的知識要點：極坐標方程的互化，參數(shù)方程與直角坐標方程的互化，解方程組問題的應用，兩點間的距離公式的應用，主要考查學生的應用能力．