Question

已知（x²-

1

5 x3

）⁵的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T，f（x）是以T為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,二項(xiàng)式定理

分析：根據(jù)題意，求出函數(shù)f（x）的周期是2；
在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，畫出函數(shù)y=f（x）和y=kx+k的圖象；
結(jié)合圖象求出函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k在[-1，3]內(nèi)有4個零點(diǎn)時k的取值范圍．

解答： 解：∵在（x²-

1

5 x3

）⁵的展開式中，
T_r+1=

C

r 5

•（x²）^5-r•(-

1

5 x3

)r=（-1）^r•

C

r 5

•(

1

5

)rx^10-2r-3r，
令10-2r-3r=0，得r=2，
∴常數(shù)項(xiàng)T=

C

2 5

×

1

5

=2；
∴f（x）的周期為2，且是偶函數(shù)，
∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x，
∴x∈[-1，0]時，f（x）=-x；
∴在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，畫出函數(shù)y=f（x）和y=kx+k的圖象，如圖所示；
結(jié)合圖象知，直線y=kx+k過定點(diǎn)A（-1，0），且k_AB=

1

3-(-1)

=

1

4

；
∴函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k在[-1，3]內(nèi)有4個零點(diǎn)時，
實(shí)數(shù)k的取值范圍是0＜k≤

1

4

．

點(diǎn)評：本題考查了二項(xiàng)式定理與函數(shù)零點(diǎn)的問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，解題時應(yīng)利用函數(shù)的圖象，結(jié)合零點(diǎn)的概念，進(jìn)行解答，是綜合題目．