Question

3．在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任取三個(gè)不同點(diǎn)P₁、P₂、P₃，F(xiàn)為右焦點(diǎn)．使∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，證明：$\frac{1}{{|F{P_1}|}}$+$\frac{1}{{|F{P_2}|}}$+$\frac{1}{{|F{P_3}|}}$為定值．

Answer 1

分析 通過(guò)設(shè)∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），0≤α₁＜$\frac{2}{3}π$，且α₂=α₁+$\frac{2}{3}π$，α₃=α₁+$\frac{4}{3}π$，點(diǎn)P_i在橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)l上的射影為Q_i（i=1，2，3），利用橢圓第二定義可知|FP_i|=|P_iQ_i|•e
=（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c-|FP_i|cosα_i）•e、計(jì)算可知$\frac{1}{|F{P}_{i}|}$=$\frac{2}{3}$（1+$\frac{1}{2}$cosα_i）（i=1，2，3），進(jìn)而利用和角公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 證明：記橢圓右頂點(diǎn)為A（2，0），設(shè)∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），
不妨設(shè)0≤α₁＜$\frac{2}{3}π$，且α₂=α₁+$\frac{2}{3}π$，α₃=α₁+$\frac{4}{3}π$，
設(shè)點(diǎn)P_i在橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)l上的射影為Q_i（i=1，2，3），
∵橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，F(xiàn)（1，0），右準(zhǔn)線(xiàn)l方程為：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，
由橢圓第二定義可知|FP_i|=|P_iQ_i|•e
=（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c-|FP_i|cosα_i）•e
=$\frac{1}{2}$（3-|FP_i|cosα_i）（i=1，2，3），
∴$\frac{1}{|F{P}_{i}|}$=$\frac{2}{3}$（1+$\frac{1}{2}$cosα_i）（i=1，2，3），
∴$\frac{1}{{|F{P_1}|}}$+$\frac{1}{{|F{P_2}|}}$+$\frac{1}{{|F{P_3}|}}$=$\frac{2}{3}${3+$\frac{1}{2}$[cosα₁+cos（α₁+$\frac{2}{3}π$）+cos（α₁+$\frac{4}{3}π$）]}，
又∵cosα₁+cos（α₁+$\frac{2}{3}π$）+cos（α₁+$\frac{4}{3}π$）
=cosα₁-$\frac{1}{2}$cosα₁-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα₁-$\frac{1}{2}$cosα₁+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα₁
=0，
∴$\frac{1}{{|F{P_1}|}}$+$\frac{1}{{|F{P_2}|}}$+$\frac{1}{{|F{P_3}|}}$=$\frac{2}{3}$（3+$\frac{1}{2}•0$）=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題中的隱含條件，注意解題方法的積累，屬于中檔題．