已知函數(shù)f（x）=
x2+2x+a
x
，x∈[1，+∞）．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的最值及其幾何意義
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）將a=4代入f（x），利用基本不等式求出最值，（2）將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解，
解答： 解：（1）當(dāng)a=4時(shí)，
f（x）=
x2+2x+4
x
=x+
4
x
+2≥2
x×
4
x
+2=6，（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取得相等），
即函數(shù)最小值為6；
（2）f（x）＞0即x+
a
x
+2＞0對任意x∈[1，+∞），恒成立，
即a＞-x（x+2）
a＞-（x+1）2+1，
令g（x）=-（x+1）2+1，
g（x）的最大值為當(dāng)x=1時(shí)取得，為g（1）=-3
所以有a＞-3．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)最值問題，用到了基本不等式和恒成立問題的轉(zhuǎn)化求解，屬于較經(jīng)典的題型．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=
2
S
2
n
2Sn-1
（n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{
1
Sn
}為等差數(shù)列；
（2）求{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-4cosα，3cosα），α∈{α|π＜α＜2π，α≠
3π
2
}，則sinθ+cosθ=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于給定的函數(shù)f（x）=2x-2-x，有下列四個(gè)結(jié)論：
①f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；
②f（x）在R上是增函數(shù)；
③f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；
④f（x）的最小值為0．
其中正確的個(gè)數(shù)有（　�。�
A、4個(gè)B、3個(gè)C、2個(gè)D、1個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長為a的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)，
（1）PB與CD所成的角的正弦值；
（2）DB與平面DEF所成的面的余弦值；
（3）點(diǎn)B到平面DEF的距離；
（4）二面角F-DE-B的大小的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，過橢圓C的右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求直線ON的斜率kON；
（2）對于橢圓上的任意一點(diǎn)M，試證：總存在θ，使得等式
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|x2+ax+b=x}={a}，冪函數(shù)f（x）經(jīng)過點(diǎn)（a，b），
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）求不等式f（x）≤x的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為4的正方形，A1C1與B1D1交于點(diǎn)N，BC1與B1C交于點(diǎn)M，且AM⊥BN，建立空間直角坐標(biāo)系．
（1）求AA1的長；
（2）求＜
BN
，
AD1
＞；
（3）對于n個(gè)向量
a1
，
a2
，…，
an
，如果存在不全為零的n個(gè)實(shí)數(shù)λ1，λ2，…，λn，使得λ1
a1
+λ2
a2
+…+λn
an
=0成立，則這n個(gè)向量
a1
，
a2
，…，
an
叫做線性相關(guān)，不是線性相關(guān)的向量叫線性無關(guān)，判斷
AM
，
BN
，
CD
是否線性相關(guān)，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（文做）已知函數(shù)f（x）=
cosx，sinx≥cosx
sinx，sinx＜cosx
，若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k至少有一個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是
 
．

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同步練習(xí)冊答案