Question

15．已知{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，{b_n}是等差數(shù)列，且a₁=b₁=1，b₂+b₃=2a₃，a₅-3b₂=7．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，n∈N^*，其前n項和為T_n；
   ①求T_n；
   ②若λ≤n（T_n-3）對任意n∈N⁺恒成立，求λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}是各項均為正數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，{b_n}是公差為d的等差數(shù)列，由通項公式，解方程可得d，q，進(jìn)而得到通項公式；
（2）①運用錯位相減法，即可得到所求；
②令d_n=n（T_n-3），求得n=1時，d₁＜0，n＞1時，d_n＞0，可得n=1取得最小值，可得λ的最大值．

解答 解：（1）設(shè){a_n}是各項均為正數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，
{b_n}是公差為d的等差數(shù)列，
由a₁=b₁=1，b₂+b₃=2a₃，a₅-3b₂=7，
即有1+d+1+2d=2q²，q⁴-3（1+d）=7，
解方程可得d=2，q=2，
則b_n=1+2（n-1）=2n-1，a_n=2^n-1；
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，
T_n=1•1+3•2+…+（2n-1）•2^n-1，
2T_n=1•2+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ，
兩式相減可得，-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+2•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ
化簡可得，T_n=3-（3-2n）•2ⁿ；
②λ≤n（T_n-3）對任意n∈N⁺恒成立，
令d_n=n（T_n-3）=n（2n-3）•2ⁿ，
則n=1時，d₁=-2，
當(dāng)n＞1時，d_n＞0．
故d_n的最小值為-2，
則λ≤-2，即λ的最大值為-2．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．