7.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點,點R是含拋物線頂點O的弧AB上一點,求△RAB的最大面積.

分析 由題意設(shè)出A,B的坐標(biāo)及AB所在直線方程,與拋物線方程聯(lián)立,化為關(guān)于x的一元二次方程,由弦長公式求得|AB|,再求出與AB平行且與拋物線相切的直線方程,求出切點R的坐標(biāo),由點到直線的距離公式求出R到AB的距離,代入三角形面積公式得答案.

解答 解:設(shè)A(x1,y1),B(x2y2),AB所在的直線方程為y=x-$\frac{p}{2}$,將其代入拋物線y2=2px,
得${x}^{2}-3px+\frac{{p}^{2}}{4}=0$,
∴${x}_{1}+{x}_{2}=3p,{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{p}^{2}}{4}$,
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{9{p}^{2}-4•\frac{{p}^{2}}{4}}=4p$,
當(dāng)過R的直線l平行于AB且與拋物線相切時△RAB的面積有最大值.
設(shè)直線l方程為y=x+b,代入拋物線方程得y2-2py+2pb=0,
由△=4p2-8pb=0,得$b=\frac{p}{2}$,這時R($\frac{p}{2},p$),
它到AB的距離為h=$\frac{\sqrt{2}}{2}p$,
∴△RAB的最大面積為$\frac{1}{2}|AB|•h=\sqrt{2}{p}^{2}$.

點評 本題考查拋物線的幾何性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,訓(xùn)練了點到直線距離公式的應(yīng)用,是中檔題.

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